Тензоры

Понятие о тензоре II валентности

Рассмотрим простейший случай, когда возникает потребность в тензоре. Закон Гука F = - k Dx связывает две векторные величины–силу и растяжение/сжатие Dx под действием этой силы и в направлении силы, если речь идет, например, о растяжении свободно подвешенной пружины или сжатии пружины в направлении ее оси.

Под действием силы F, направленной вдоль оси X, тело сместится вправо на Dx в новое положение равновесия,

при котором

или

F = 2k Dx.

Пусть теперь это же тело закреплено на пружинных растяжках так, как показано на следующем рисунке: каждая пара пружин, имеющая свой коэффициент упругости, параллельна какой-либо из координатных осей.

Если внешняя сила F = (F₁,0,0) действует вдоль оси X₁, то в новом положении равновесия она снова, как и в выражении (1), уравновешивается суммой сил упругости пружин с коэффициентами жесткости k₁. Тело окажется смещенным на Dx₁ вдоль оси X₁, причем

Предполагаем при этом, что сила достаточно мала, так что при смещении тела вдоль оси X₁ растяжения пружин, ориентированных вдоль других осей, практически не происходит.

Аналогичные соотношения можно записать для случаев, когда сила действует в направлении осей X₂, X₃:

Если же сила имеет произвольное направление, ее можно разложить на три составляющие: F = (F₁,F₂,F₃), и для каждой составляющей записать соотношения вида (2), (3). Сила окажется связанной со смещением соотношением

При повороте координатной системы компоненты векторов F и Dr преобразуются по формулам (1.48)–(1.50). В новой системе координат компоненты вектора силы запишутся, согласно формуле (1.48), в виде F_j¢  = a _{j¢ i} F_i. Выражая компоненты вектора силы в исходной системе координат посредством соотношения (5), а вектора перемещения посредством соотношения (1.49) Dx_k = a_{l¢ k} Dx_l¢ , получим

F_j¢ = a _{j¢ i} F_i = a _{j¢ i} k_ik Dx_k = a _{j¢ i} k_ik a_{l¢ k} Dx_l¢ = a _{j¢ i} a_{l¢ k} k_ik Dx_l¢ .

Таким образом, в произвольной системе координат параметры подвески тела на пружинах определяются девятью величинами k_ik, которые могут быть выражены (в данном конкретном случае) через три числа k₁₁, k₂₂, k₃₃, связанных с определенной координатной системой.

Если совокупность девяти величин T_ik при переходе от одной прямолинейной прямоугольной системы координат к другой преобразуется по формулам

Tj¢ l¢ = a j¢ i al¢ k Tik, где a j¢ i = (ej¢ ei),

(8)

совокупность этих девяти величин T_ik определяет геометрический объект, называемый тензором второй валентности (второго ранга) в трехмерном пространстве.

Величины T_ik называют компонентами тензора. Тензор второй валентности с компонентами T_ik может быть представлен квадратной матрицей

Кроме матричной записи тензора в форме (9), применяют еще следующие способы: (T_ik), T. Как и в случае квадратной матрицы, компоненты тензора T₁₁, T₂₂, T₃₃ называются диагональными.

Если T_ij представляют собой компоненты тензора T второй валентности, то совокупность девяти величин Q_ij = T_ji также является тензором второй валентности. Действительно,

Как видим, эта совокупность преобразуется по формулам (8) и, следовательно, является тензором. Тензор Q с компонентами Q_ij= T_ji называется тензором, сопряженным с тензором T. Будем использовать обозначение Q=T^*.

Широко используемым в механике сплошных сред тензором является тензор упругих напряжений. Рассмотрим упругое тело, деформированное внешними воздействиями. Мысленно вырежем в этом теле объем V, ограниченный поверхностью S_V.

На каждый элемент dS этой поверхности со стороны частиц тела, лежащих вне объема V, будет действовать сила, происходящая от деформации тела. Она, очевидно, пропорциональна площади dS этого элемента и зависит от ориентации площадки dS или, что по сути то же, от ориентации внешней относительно V нормали n к площадке. Обозначим эту силу через –p_n dS. Появление здесь знака “минус” вызвано тем, что направление внешней нормали n составляет тупой угол с внешней силой, давящей на площадку dS объема V. Вектор p_n представляет собой силу, отнесенную к единице площади. Он зависит от ориентации n и называется нормальным напряжением на площадку dS с нормалью n. В общем случае упругого тела направление этого вектора может лишь случайно оказаться параллельным нормали n.

В каждой точке упругого тела каждому направлению n отвечает свой вектор p_n. Объем V мы можем вырезать (мысленно), например, так, чтобы нормаль n совпадала с ортом e₁ или с ортом e₂ или с ортом e₃. Каждому направлению будет отвечать свой вектор p_n. Покажем, что компоненты совокупности трех векторов p_e1, p_e2, и p_e3 составляют тензор второй валентности.

Обозначим через f внешнюю силу, действующую на единицу массы тела (это может быть, например, сила тяжести), через r–плотность вещества, через a–ускорение объема dV. Согласно второму закону Ньютона равнодействующая сил, приложенных к объему dV, равна произведению его массы rdV на ускорение a.

Пусть объем имеет форму достаточно малого тетраэдра, три грани из четырех которого параллельны координатным плоскостям, а четвертая перпендикулярна заданному направлению нормали n.

На грань ABC, имеющую площадь S, будет действовать поверхностная сила, равная –p_n S. На грань BCM, площадь которой S cos (n,^e₁) равна проекции S на плоскость x₁ = const, сила p_e1 S cos(n,^e₁). Исчезновение здесь знака “минус” здесь вызвано тем, что, как видно из рисунка, орт e₁ имеет направление, противоположное внешней нормали к грани BCM. Аналогично на грани ACM и ABM действуют силы p_e2 S cos(n,^e₂) и p_e3 S cos(n,^e₃).

Массовая сила, действующая на тетраэдр, имеющий объем V, равна f r V. Применение второго закона Ньютона к объему V приводит к равенству

–p_n S + p_e1 S cos(n,^e₁) + p_e2 S cos(n,^e₂) + p_e3 S cos(n,^e₃) + f r V = a r V,

–p_n S + p_e1 S cos(n,^e₁) + p_e2 Scos(n,^e₂) + p_e3 S cos(n,^e₃) = (a – f) r V.

Разделим это равенство на S

–p_n + p_e1 cos(n,^e₁) + p_e2 cos(n,^e₂) + p_e3 cos(n,^e₃) = (a – f) r V / S.

и устремим длину ребер тетраэдра к нулю. При этом отношение объема тетраэдра к площади его грани ABC также устремится к нулю, и мы получим

Если в качестве нормали n последовательно выбрать орты e_1¢ e_2¢ e_3¢ другой прямолинейной прямоугольной системы координат, получим три соотношения

Входящие в правые части векторы p_ei могут быть записаны через компоненты следующим образом:

Аналогично представим и векторы p_ej¢ через компоненты штрихованной системы координат:

Величины s_ij при переходе к другой прямолинейной прямоугольной системе координат преобразуются как компоненты тензора. Чтобы убедиться в этом, подставим соотношения (12) в формулу (11)

и умножим левую и правую части этого равенства на e_l¢ . С учетом формулы (13) получим:

т. е. совокупность величин s_ij представляет собой компоненты тензора второй валентности.

Тензор S_ik, все компоненты которого удовлетворяют условию S_ik=S_ki, называется симметричным.

Из формулы (9) видно, что у симметричного тензора из девяти компонент независимыми являются только шесть, из которых три лежат на главной диагонали (S₁₁, S₂₂, S₃₃). Очевидно, что симметричный тензор является сопряженным самому себе.

Тензор A_ik, все компоненты которого удовлетворяют условию A_ik=–A_ki, называется антисимметричным.

Свойство тензора быть симметричным или антисимметричным инвариантно, иными словами, сохраняется при переходе от одной прямолинейной прямоугольной системы координат к другой. Это ясно из определения тензора: если S_ik=S_ki, то

S_{j¢ l¢} = a _{j¢ i} a _{l¢ k} S_ik = a _{j¢ i} a _{l¢ k} S_ki = a _{l¢ k} a _{j¢ i}S_ki = S_{l¢ j¢} .

Согласно формуле (1.47) правая часть этого равенства дает d _{j¢ l¢} , так что мы имеем тождество.

Аналогично тензору второй валентности определяется тензор произвольной валентности r:

Если совокупность 3^r величин T_ij…m при переходе от одной прямолинейной прямоугольной системы координат к другой преобразуется по формулам

Tl¢ k¢ …n¢ = a l¢ i ak¢ j… an¢ m Tij…m, где ak¢ j=(ek¢ ej),

(16)

совокупность этих 3^r величин T_ij…m определяет геометрический объект, называемый тензором валентности r в трехмерном пространстве.