Общая формула Гаусса–Остроградского

Докажем сначала следующую формулу:

(110)

или в компонентах

(111)

Для этого положим в формуле (95) a=cj, где c–постоянный вектор, и учтем, что

формула Гаусса–Остроградского (95) примет вид

Ввиду произвольности ориентации вектора отсюда приходим к формуле (110).

Очевидно, если соотношение (111) имеет место для скалярной функции j, оно справедливо и для каждой из компонент некоторого вектора a:

(112)

и, следовательно, и для самого вектора a (достаточно умножить выражения (112) для каждой компоненты на соответствующий орт и сложить):

(113)

Рассмотрим линейный оператор L(Ñ ), определяемый следующим образом. L(a) есть линейное относительно вектора a выражение:

где a и b–произвольные векторы, l–число. Это выражение в общем случае может включать в себя сложение, умножение на число, дифференцирование, интегрирование, причем условимся, что оператор Ñ действует на функции, расположенные только справа от него: AL(Ñ )B+C действует на B и не действует на A и C.

Докажем следующую общую формулу Гаусса–Остроградского:

(114)

Воспользуемся сначала свойством линейности оператора L(Ñ):

как слева, так и справа мы имеем линейный оператор, действие которого распространяется на функции, записанные справа от него. Выражение (114) примет вид

(115)

Выражение L(e_i) является либо вектором, либо скаляром. В первом случае можно воспользоваться формулой (113), во втором–формулой (111); в любом случае получим в силу линейности оператора L

Инвариантное определение линейного оператора L

Пусть V–малый объем, который мы стягиваем в точку M. Ввиду малости этого объема значения результата действия оператора L(Ñ ) на скалярную или векторную функцию в разных точках объема V мало отличаются от того же в точке M: L(Ñ )=(L(Ñ ))_M+e, где e –малая величина. Поэтому

где h–тоже малая величина. Разделив левую и правую части на V и устремив V к нулю, в результате чего к нулю устремится и h, в пределе получим

(116)

Полученная формула не привязана ни к какой системе координат и может быть использована, в частности, с криволинейными координатами (цилиндрическими, сферическими и пр.).

На примере действия оператора Гамильтона на произведение скалярной и векторной функций выработаем простое правило применения оператора Гамильтона:

(117)

по правилу дифференцирования произведения дифференцируем первый сомножитель, считая остальные постоянными, к результату добавляем произведение, в котором дифференцируется только второй сомножитель, тогда как остальные принимаются постоянными, и т. д. Условно это обозначается двумя способами, приемлемыми только для промежуточных выкладок:

здесь индекс “c” означает, что данный сомножитель принимается постоянным.

здесь индексы “a” и “j” означают, что оператор действует только на тот или иной сомножитель.

Другой пример: (Ñ × v)a–здесь скобки не ограничивают действие оператора Гамильтона, он действует на оба сомножителя, расположенных справа от него;

первые два слагаемых правой части дают grad(a × b), и мы приходим к левой части формулы (119).

Операторы grad, div, rot, (v ×Ñ) являются дифференциальными операторами первого порядка

Рассмотрим теперь основные дифференциальные операции второго порядка. Т. к. gradj и rota являются векторами, к ним применимы операции div и rot; к скалярной функции diva применим оператор grad:

Первым равенством определяется оператор Лапласа, называемый коротко лапласианом:

(122)

Второе и третье тождества нами были установлены ранее. Выражение rotrota раскрыто по формуле “бац” минус “цаб” в форме

удовлетворяющей требованию, чтобы функция оставалась справа от операторов дифференцирования. Строгий вывод формулы (121) может быть выполнен с применением кососимметричного символа Кронекера

или

(123)

Последнее слагаемое выражения (121) дает лапласиан от векторной функции:

(124)

Наконец, пятая формула представляет собой первое слагаемое правой части формулы (123), отличное от лапласиана вектора a. Это очевидно, например, в случае соленоидального поля, дивергенция которого равна нулю.