I. Векторы. 1.4. Произведение трех векторов

Из трех векторов можно составить произведения разного вида:

(a×b)c; a(b×c); (a×c)b;
(a ´ b)×c; a×(b ´ c); (a ´ c)×b;
(a ´ b) ´ c; a ´ (b ´ c); (a ´ c) ´ b;

Верхняя и нижняя строки дают векторы различных направлений, средняя – скаляры. Первая строчка дает очевидные результаты – скалярное произведение дает скаляр, и он умножается на вектор (или наоборот, вектор на скаляр).

Вторая строчка содержит векторно-скалярные, так называемые смешанные произведения трех векторов. Геометрическое значение первого во второй строчке смешанного произведения видно из рисунка: модуль векторного произведения дает площадь основания построенного на векторах параллелепипеда, модуль проекции вектора c на это векторное произведение дает высоту параллелепипеда,

следовательно, модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда. Смешанное произведение положительно, если вектор c составляет острый угол с векторным произведением, как на рисунке, в противном случае отрицательно. Очевидно (из рисунка),

(a ´ b)×c = (c ´ a)×b = (b ´c)×a. (25)

А т. к. a ´ b = -b ´ a, имеем также

-(a ´ b) ×c = (b ´ a)×c = (a ´ c)×b = (c ´ b)×a. (26)

В компонентах смешанное произведение представляется определителем

(27)

Рассмотрим теперь двойное векторное произведение. Вектор a ´ (b ´ c) перпендикулярен вектору a и векторному произведению b ´  c, т. е. нормали к плоскости, содержащей эти два вектора. Следовательно, он компланарен этим векторам и может быть представлен в виде:

a ´ (b ´ c) = m b + n c.(28)

Найдем скалярные параметры m и n. Умножим скалярно последнее равенство на вектор e1, лежащий в плоскости векторов b и c, перпендикулярный вектору c и направленный так, чтобы векторы e1, c и b ´ c образовали правую тройку векторов:

{a ´ (b ´ c)} e1 = m b×e1 + n c×e1= m b×e1.

В левой части равенства сделаем циклическую перестановку векторов a, (b ´  c) и e1 в соответствии с формулой (25):

{(b ´ c) ´ e1} a = m b×e1.

В фигурных скобках произведение взаимно перпендикулярных векторов, направленное по вектору c. Длина вектора b ´ c равна b c sin (b,^c), а поскольку вектор e1 единичный, длина вектора (b ´ c) ´ e1 также равна

b c sin (b,^c) = b c cos (b,^ e1) = c (b×e1).

Учитывая направление этого вектора, можем записать

(b ´ c) ´ e1 = c ( b×e1) c / c,

{(b ´ c) ´ e1} a = ( b×e1) (a×c) = m b e1.

Сокращая левую и правую части на отличный от нуля скаляр b×e1, получим

m = (a×c). (29)

Чтобы найти n, перепишем формулу (28) в виде

a ´ (c ´ b) = –m b – n c.

Здесь переставлены векторы b и c; воспользуемся только что полученным результатом: на основе формулы (29) сразу можем написать

– n = (a×b). (30)

Подставляя соотношения (29), (30) в формулу (28), находим

a ´ (b ´ c) = b(a×c) – c(a×b). (31)

Обычно эту формулу называют формулой “бац минус цаб”, хотя следует помнить, что она может быть переписана и в следующих равноценных формах:

a ´ (b ´ c) = b (a×c) – (a×b) c;

a ´ (b ´ c) = b (c×a) – c (a×b);

a ´ (b ´ c) = b (c×a) – (b×a) c,

(32)

и т. д.

Используя двойное векторное произведение, можно произвольный вектор разложить на два, один из которых параллелен данному орту e, а другой – перпендикулярен: полагая в формуле (31) a = c = e, получаем

e ´ (b ´ e) = b (e×e) – e (e×b) = b – e (e×b),

откуда

b = e (e×b) + e ´ (b ´ e). (33)

Первое слагаемое параллельно орту e, второе – перпендикулярно.